同步對角化(Simultaneously Diagonalizable)與可交換(commute)之間的關係

在這篇文章中，我想要說明一個關於同步對角化的重要結果，這個證明算滿有趣的，可以幫助我們了解矩陣計算、向量空間、特徵空間之間的關係。整個走完證明之後，會發現矩陣的可交換性，表示這兩個矩陣在特徵空間中有更深層的關係

Theorem

假設矩陣可以對角化，且矩陣可以交換 (commute)，也就是，若且為若可以同步對角化(simultaneously diagonalizable)，也就是說存在一組基底，使得矩陣在這組基底變換下的矩陣表示同時為對角化矩陣。

Lemma 1 (矩陣的基底表示)

存在一組空間的基底，，將這些基底向量都看成column vector，令是這些column vector "排"在一起的矩陣

則矩陣在基底之下的表示矩陣可以寫成

Lemma1 把基底變化與矩陣乘法連結起來。

PF:

根據矩陣的基底表示的定義

回想基底表示的符號的定義

表示能寫成基底的線性組合，也就是

每一個基底對應的"權重"為

將與 都看成column vector，線性組合也可以寫成矩陣乘法

因為是基底向量都看成column vectorr所"排"成的矩陣，所以滿秩(由基底定義)，也就是存在反矩陣，所以基底表示函數也可以透過從左邊作用的反矩陣求得

現在回來看(1)

Q.E.D.

Lemma 2 (B矩陣可以將A矩陣的eigenvector投影到A矩陣相同eigenvalue的eigenspace中)

假設可交換， 且 是的特徵空間 (eigenspace) () 的基底，則 也是的關於的eigenvectors

Pf:

對於給定矩陣的eigenvalue 及對應的eigenvectors 的個基底集合

where

所以也是對應於eigenvalue 的eigenvector

Q.E.D

註：Lemma2 說明了在固定一個eigenspace之下，中的基底向量會被打回中，更具體地說 是不變子空間 (invariant subspace)

有了上面兩個Lemma

現在我們開始證明我關於同步對角化的重要結論:

都是可對角化矩陣，且可交換() 可同步對角化

Pf

因為 可同步對角化，由Lemma1可以以假設存在一個組基底 , 且令基底當作column vector "排"成的矩陣為

使得 與 為對角線矩陣

令對角線矩陣,

所以矩陣可以交換

Q.E.D

()

Pf

因為矩陣可以對角化，所以我們先假設 的有個相異eigenvalue，記做

其對應的eigenspace為 ，為了方便符號表示，個特徵空間()對應的維度記為

注意因為矩陣可以對角化，所以這些特徵空間的維度總和為

我們"依序"在這些特徵空間中取其基底，每個基底看成column vector然後"排"成一個矩陣如下

也就是說: 共個向量是特徵空間的基底，共個向量是特徵空間的基底，依此類推

用這個矩陣中的column vector當作基底，來對矩陣做基底表示，由Lemma 1

因為 是一組基底，且已經是基底的一個線性組合，所以基底表示函數可以簡單求解

矩陣的在基底之下的基底表示矩陣為：

也就是是說在這組基底表示下，是一個對角矩陣，每個分塊矩陣的大小為對應的特徵空間的維度

我們觀察第對應的基底，注意這裡只是為了與上述的作區別，目的是忽略複雜的index計算，只用基底向量的個數來當index

當矩陣從左邊作用的基底當作column vector排成的矩陣的時

由Lemma2 得知，因為矩陣有可交換的性質，所以會把的對應於eigenvalue 的 eigenvectors 打到原本的eigenspace

也就是說可以用 的基底來表示， 可以表示成線性組合:

, 其中 為相對應的係數

把到放在一起，然後寫成矩陣形式

式(4)表示，對於 的每一組基底的被矩陣從左邊作用後，都可以表示成該基底的線性組(並不會被其他特徵空間中的基底來表示)。

看整個矩陣

我們將每一個對角線上的分塊矩陣，由左上到右下記做, 且

由Lemma 1，現在我們用這組基底來表示矩陣

也就是說矩陣在這組基底表示是一個方塊對角矩陣

這裡利用一個重要條件，矩陣也可以對角化

因為矩陣也可以對角化，也就是說方塊對角矩陣，還可以更進一步對角化

我們想對整個方塊對角矩陣對角化，換句話說，就是對每一個對角線上的方塊矩陣對角化，設存在一組可逆矩陣 , 且

其中 為對角線矩陣，但每個方塊中對角線元素( 的 eigenvalue)並不會相同

所以現在我們有一組基底，可以將對角化成，我們想把這組基底用矩陣的方式寫出來

從對角矩陣出發:

將方塊對角矩陣令為，觀察方塊對角矩陣，因為是可逆矩陣, ，所以整個方塊矩陣也是一個可逆矩陣，他的逆矩陣為

又因矩陣本身就是一組基底，所以這個矩陣是full rank，可以將每一個column vector收集起來看做是一組基底。

將對角化的基底當作column vector排的矩陣，可以寫作

將每一個column vector收集起來的基底令做

由上述計算得知，，也就是可以用 來將矩陣對角化。

這組基底實際上就是矩陣依照column分成組，每組內的基底再透過當作係數線性組合的結果

現在驗證 能否將也對角化

已知 是一組空間基底

現在驗證是不是A的eigenvector

得知 是的eigenvectors，且相對應的eigenvalue為

所以矩陣的在基底之下的基底表示矩陣為:

得知這組基底也可以將矩陣對角化

由上述討論得知，用這組基底，可以將矩陣同時對角化

Q.E.D.