Hotball 的小屋

貼圖 filtering 與 MIP map 簡介 [Part 2]

重新取樣的第一個動作，就是要重建原來的訊號。如果重建訊號的動作不正確，就會在重新取樣的時候，造成失真的問題。按照訊號處理的理論，我們知道取樣後的訊號，只要其取樣頻率大於訊號頻率的兩倍（即 Nyquist frequency），就可以重建出原來的訊號。這在許多領域都常被使用，包括聲音處理的領域。在數位圖形的情形下又是如何呢？下面是一個例子：


原始訊號	重建訊號（使用 60x60 sinc filter）

可以看到重建出來的訊號有很嚴重的 ringing effect。這是二維訊號難以避免的結果。不過，用這種方法重建出來的訊號，倒是沒有什麼嚴重的 aliasing 問題。然而，利用這種方法重建訊號，是不太可能即時進行的，因為計算量實在是太大了。以上圖為例，上圖使用 60x60 的 sinc filter，所以對每個重新取樣的點，都需要做 60x60 個取樣點的計算。這樣的計算量是非常大的。

除了重建訊號的問題之外，如果重新取樣是縮小的取樣，也就是取樣點的間距變大的話，還需要一個額外的切除高頻成份的動作。這部分比較複雜，所以這裡先以放大的重新取樣為主。

為了要能夠快速重建出訊號，一定要使用簡單的運算。最簡單的運算，當然就是在重新取樣的時候，直接取距離最近的取樣點。因此，這個方法稱為 nearest sampling。因為只取一個取樣點，所以有時也稱為 point sampling。它的結果當然不會太好，而且還會產生新的失真問題。

其實 point sampling 也可以看成利用零次多項式（即常數多項式）去逼近的方法。所以，一個很自然的想法，就是用一次多項式去逼近，也就是線性內插（linear interpolation）。下圖是線性內插的示意圖：

如果是在二維的訊號（像是 2D 貼圖）上，那就要同時對兩個方向都做線性內插，所以稱為雙線性內插（bilinear interpolation）。

使用雙線性內插的時候，每個取樣點需要取 2x2 個點來計算，所以計算量並不大。不過，線性內插的問題在於，它所產生的結果並非平滑的，所以在某些情形下，表現並不好。例如，下圖的例子中，字母 D 的右下角部分，以線性內插產生的結果，就還是有一些鋸齒狀的現象。

如果再提高逼近的次數，就是以三次多項式來逼近了，稱為 cubic interpolation。在二維的情形下，稱為 bicubic interpolation。三次內插有很多不同的型式，不過，對每個取樣點，它都需要 4x4 的計算。就目前的 3D 硬體來說，計算量已經是相當大，所以極少有 3D 硬體支援這種內插方式。不過，三次內插會產生平滑的訊號，所以一般來說，效果比線性內插要好一些。

下面是 point sampling、bilinear interpolation 和 bicubic interpolation 的例子。


Point sampling	Bilinear interpolation	Bicubic interpolation

一般來說，因為 bilinear interpolation 的效果已經相當不錯，再加上計算量又少，所以一般 3D 顯示晶片都是使用 bilinear interpolation 來處理貼圖的重新取樣問題，特別是在放大的部分。

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2/7/2001, Ping-Che Chen

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