2024年3月20日 聯合報 科技．人文聯合講座

萬年π的千年探索

趙坤茂

三月十四日早上收到實驗室畢業生來函，邀約大家在他回台時一起去踏青。當日適逢西方情人節滿月的東亞白色情人節，也是聯合國教科文組織明定的國際數學日。熱愛數學的他開場白就「祝老師圓周率日快樂」，反映其對圓周率π（3.1415926535897932384626433832795028841971…）的熱愛。

圓周率π乃圓周除以直徑的比率，可用來計算圓形的周長和面積、圓球的表面積和體積等。無論是我們落腳的地球，或是口袋內的銅板，乃至於天上的太陽、月亮和星星，π無所不在，俯拾皆是。

兩千多年前，阿基米德證明π介於223⁄71和22⁄7之間，可以精準到小數第二位（3.14）。一千五百多年前，祖沖之提出「密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。」亦即π介於355⁄113和22⁄7之間，可以精準到小數第六位（3.141592）。《隋書·律曆上》還記載祖沖之「更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。」精準度可達小數第七位（3.1415926），此一世界紀錄保持了將近一千年。

十八世紀初，梅欽推導出可快速收斂到π的級數，人們首次能精算π到小數第一百位。二戰結束後，賴特維斯納運用世上第一部通用電子數位電腦ENIAC精算π到小數第兩千多位。二○二二年三月，Google工程師岩尾運用雲端計算，創下精算π到小數第一百兆位的里程碑。

π是無理數，它的小數部分注定是無限且不循環的，再算下去絕對沒完沒了，而且就目前科學計算需求而言，幾十位數精準度的π已綽綽有餘，那麼為何還要繼續算下去呢？

當探險家馬洛里被問到為何想要攀登聖母峰時，他回覆「因為它就在那裡」，或許這也是人們持續探索π的原因。此外，π的位數計算提供了當代電腦軟硬體運算力的較勁平台，其實就在今年圓周率日前夕，上述π的第一百兆位世界紀錄，已被另一研究團隊推進到第一百零五兆位。再者，精算π的歷程也孕育了諸多匠心獨具的方法，而從它所呈現的計算結果可觀察到π的小數裡，0到9各數字出現的隨機程度，讓人們能更深入理解π的無理奧秘。

記得在高中校刊曾讀過一則逍遙遊笑話：

「無聊：π=3.1415926535897932384626433832795028841871…

太無聊：其中第十九位和第二十位顛倒了。

窮極無聊：其實沒有顛倒。」

該則笑話看似無聊透頂，但仔細核對後，發現還可再補上一句：「超級窮極無聊：第三十八位數字應從8改為9。」

回顧第一段所列小數位數精確到第四十位的π，那是筆者撰稿當下默寫出來的。筆者最快可在五點七秒內背誦到第四十位數，但這相較於世界官方紀錄保持人米納以大約十小時背誦到第七萬位數，或非官方紀錄保持人原口以大約十六小時背誦到第十萬位數，著實微乎其微呀！

【2024/3/20 聯合報】